交互式数学公式动画

拖动滑块或用鼠标直接在画布上交互，实时观察主流数学公式的几何与动态意义

1. 单位圆与三角函数

45°
140
在画布上拖动鼠标可直接改变角度

2. 二次函数 y = ax² + bx + c

0.50
-1.0
1.0
拖动顶点或根点可实时调整曲线形态

3. 导数与切线斜率

1.00
在曲线上拖动鼠标可移动切点

4. 正弦波与谐波叠加

3
1.0
0°
增加谐波数观察方波近似过程

5. 正态分布（高斯函数）

0.0
1.00
峰值 f(μ)0.399
标准差区间 μ ± σ68.27%
标准差区间 μ ± 2σ95.45%
方差 σ²1.00
拖动曲线区域：左右移动改变均值 μ，上下拖动改变标准差 σ；滑块、公式、统计值与曲线实时联动

6. 抛体运动（抛物线轨迹）

18.0
45°
9.8
调整参数后点击播放观察轨迹与最高点

7. 勾股定理

120
90
拖动直角顶点可自由改变两边长度

8. 指数函数 y = e^{kx}

0.40
4.0
正 k 为增长，负 k 为衰减

9. 二维矩阵变换

1.20
0.40
-0.30
0.80
拖动鼠标可直接改变矩阵元素（水平影响 a/b，垂直影响 c/d）

10. 复平面与复数运算

1.50
1.20
在画布上拖动鼠标直接移动复数点

11. 定积分与面积

-1.00
2.00
12
拖动左右边界可调整积分区间

12. 向量加法（平行四边形法则）

2.0
1.0
-0.5
1.8
拖动鼠标可同时移动两个向量的终点

13. 向量点积与投影

30°
80°
2.0
1.8
拖动鼠标可改变两向量夹角

14. 泰勒级数近似

3
0.0
增加阶数观察多项式逼近原函数的过程

15. 拉格朗日中值定理

-1.0
2.0
观察存在 c 使切线斜率等于割线斜率

16. 傅里叶级数（方波 / 锯齿波）

5
1.0
增加项数观察级数收敛到目标波形

17. 向量叉积（二维）

2.0
0.5
-0.5
1.5
叉积大小表示平行四边形面积，正负表示定向

18. 极坐标曲线

3
调节 k 观察花瓣数变化

19. 微分方程方向场

12
点击画布可从该点绘制一条近似解曲线

20. 简谐振动（经典力学）

1.5
2.0
0°
观察位移、速度与能量转换

21. 哈密顿方程与相空间

2.0
1.0
1.0
等能量曲线为椭圆，轨迹沿哈密顿流运动

22. 点电荷电场（库仑定律）

2.0
-1.0
2.5
箭头表示电场方向，颜色深浅表示强度

23. 理想气体状态方程

1.0
2.0
300
调节 P、V、T 观察 nR = PV/T 是否守恒

24. 驻波与波动方程

2
0.0
观察节点与腹点

25. 一维无限深势阱（量子力学）

2
能级越高，节点越多，零点能存在

26. 神经网络：激活函数与简单分类

1.2
-0.5
调节权重与偏置观察决策边界移动

27. 欧拉公式 e^{iθ} = cosθ + i sinθ

90°
单位圆上的点同时表示复数与三角函数

28. 等差数列与等比数列

2
1.5
6
柱状图显示各项，标注通项与求和

29. 二项式定理与杨辉三角

4
1.0
显示杨辉三角行与 (1+x)^n 展开

30. 最小二乘线性回归

0.80
0.5
0.40
调节参数观察拟合直线与数据点

31. 矩阵特征值与特征向量

1.0
0.5
0.3
0.8
显示特征值与特征向量方向

32. 参数方程与利萨如图形

2
3
0°
调节频率比观察经典利萨如图形

33. 单位根与复数 n 次根

5
1.0
均匀分布在圆上的 n 个根

34. 圆周率 π 的近似（蒙特卡洛）

1000
随机点落入圆内的比例 ×4 近似 π

35. 函数极值与优化

0.5
标记局部极大、极小与导数为零的点

36. 蒙特卡洛积分

400
随机点平均高度 × 区间宽度 ≈ 积分值

37. 布丰投针实验（蒙特卡洛）

800
相交概率 ≈ 2L/(πD)，由此估计 π

38. 逻辑斯蒂映射（混沌）

3.70
150
r≈3.57 后进入混沌，敏感依赖初值

39. 斯涅尔定律（光的折射）

45°
1.00
1.50
观察全反射临界角

40. 玻尔模型（氢原子能级）

2
半径 ∝ n²，能量 ∝ -1/n²

41. 狭义相对论：时间膨胀与长度收缩

0.60
5.0
γ 因子随速度增加急剧上升

42. 曼德博集合（分形）

3.0
-0.70
0.00
迭代 z → z² + c 是否发散决定颜色

43. 随机游走与布朗运动

300
3.0
均方位移 ∝ 步数（扩散行为）

44. 多普勒效应（声学）

0.30
0.00
440
观察频率随相对运动变化

45. 伯努利原理（流体）

2.0
1.0
1.0
流速增大时压力降低

46. 火箭方程（齐奥尔科夫斯基）

3.0
4.0
Δv = ve ln(m0/mf)

47. 开普勒轨道与逃逸速度

1.00
0.30
圆轨道、椭圆、抛物线与双曲线

48. 欧姆定律与简单电路

12
6
I = U/R，功率 P = UI

49. 通电直导线磁场（安培定律）

2.0
1.5
B ∝ I/r，方向右手螺旋

50. 薄透镜公式（光学）

30
15
1/f = 1/u + 1/v，实像与虚像

51. 梯度下降（AI 优化）

0.10
15
沿负梯度方向更新参数，逼近极小值

52. 波的干涉（光学 / 声学）

40
80
200
5.0
2
相长与相消干涉条纹

53. 量子谐振子

1
能级等间距，零点能存在

54. 不确定性原理

1.0
Δx 越小，Δp 越大（波包越宽）

55. 光电效应

2.0
1.5
频率低于阈值时无光电子

56. 库仑定律（电荷间作用力）

2.0
-1.0
1.5
同号排斥，异号吸引，F ∝ 1/r²

57. 动量守恒（一维碰撞）

2.0
2.0
1.0
0.0
完全弹性碰撞后速度

58. 引力场与逃逸速度

1.0
1.0
v_esc = √(2GM/R)

59. 洛伦兹力（带电粒子在磁场中）

2.0
1.0
1.0
F = qvB，圆周运动半径 R = mv/(qB)

60. 单缝衍射

30
20
中央亮纹宽度随缝宽减小而增大

61. 声波驻波（管中）

2
4.0
开管与闭管驻波节点/腹点

62. 法拉第电磁感应定律

2.0
5
ε = -N dΦ/dt

63. 放射性衰变

5.0
10.0
N = N₀ e^{-λt}，λ = ln2 / T½

64. 逻辑斯蒂增长（种群）

0.80
150
初期指数增长，后期趋近环境容量

65. 胡克定律（弹簧）

2.0
2.0
F = -kx，弹性势能 ½kx²

66. RC 电路充电

2.0
4.0
Q = Q₀(1 - e^{-t/τ})

67. 理想气体等温 / 等压过程

1.5
等温：PV=const；等压：V/T=const

68. 化学平衡（勒夏特列）

2.0
2.0
K = [产物]/[反应物]，浓度变化时平衡移动

69. 孟德尔分离定律

显性:隐性 比例随亲本组合变化

70. 相似三角形

1.5
40°
对应边成比例，对应角相等

71. 反应速率定律

1.0
1.5
1
rate = k[A]^n

72. 酸碱 pH

-4.0
pH = -log[H⁺]，酸碱性指示

73. 酶动力学（米氏方程）

2.0
1.5
v = Vmax [S] / (Km + [S])

74. 哈迪-温伯格平衡

0.60
p² + 2pq + q² = 1

75. 行列式（面积缩放）

1.2
0.5
-0.3
1.5
det = ad - bc，表示面积缩放因子

76. 卷积操作（CNN）

滑动窗口加权求和

77. 基尔霍夫电流定律

2.0
1.5
节点电流之和为零

78. 流体连续性方程

0.60
1.5
A₁v₁ = A₂v₂